Question

2．有公共顶点A的△ABD，△ACE都是的等边三角形．
（1）如图1，将△ACE绕顶点A旋转，当E，C，B共线时，求∠BCD的度数；
（2）如图2，将△ACE绕顶点A旋转，当∠ACD=90°时，延长EC角BD于F，
①求证：∠DCF=∠BEF；
②写出线段BF与DF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由等边三角形得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，从而判断出∠DAC=∠BAE，得到△DAC≌△BAE，最后用平角的定义即可；
（2）①同（1）的方法判断出△DAC≌△BAE，再用直角三角形的性质即可；
②作出辅助线，利用①的结论即可得出DF=BF．

解答 解：∵△ABD，ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠ACD=∠E=60°，
∵E，C，B共线，
∴∠BCD=180°-∠ACD-∠ACE=60°；
（2）①∵△ABD，ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠CAE=∠E=∠ACE=60°，AD=AB，AC=AE
∵∠DAC=∠DAB-∠BAC，∠BAE=∠CAE-∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD=90°，
∴∠BEC=∠AEB-∠AEC=90°-60°=30°，
∵∠DCF=180°-∠ACD-∠ACE=30°，
∴∠DCF=∠BEF；
②DF=BF，
理由：如图，

在EF上取一点G，使BG=BF，
∴∠GFB=∠FGB，
∴∠DFC=∠BGE，
由（1）知，△DAC≌△BAE，CD=EB，
∠DCF=∠BEC，
∴△DCF≌△BGE，
∴DF=BG，
∴DF=BF．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解本题的关键是∠DAC=∠BAE．