Question

6．一等腰三角形的腰长为5，且腰上的高为3，则其底边长为$\sqrt{10}$或3$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 此题要分两种情况进行讨论：（1）当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，先在Rt△ACO中由勾股定理求出AO=4，于是OB=AB+AO=9，然后在Rt△BCO中利用勾股定理即可求出BC即可；
（2）当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在三角形的内部，在Rt△ACO中由勾股定理求出AD=4，于是DB=AB-AD=1，然后在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC即可．

解答 解：分两种情况：
（1）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO²=AC²-OC²=5²-3²=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC²=OB²+OC²=9²+3²=90，
∴BC=$\sqrt{90}$=3$\sqrt{10}$；
（2）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD²=AC²-DC²=5²-3²=16，
∴AD=4，
DB=AB-AD=5-4=1．
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC²=DB²+DC²=1²+3²=10，
∴BC=$\sqrt{10}$；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3$\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$．
故答案为：3$\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．