Question

2．（1）如图1，四边形ABEC是正方形，点D为△ABC内一点，且BD=AB，CD=AD，求∠CBD的度数和∠CBD与∠DBA的度数比值．
（2）如图2，若把（1）中的△ABC变为一般的三角形（∠BAC≠90°，AC≠AB），但D依然是△ABC内一点，且满足∠BAC=2∠BCA，BD=AB，CD=AD，此时∠CBD与∠DBA的度数比值是否与（1）中的相同，写出你猜想的结论并加以证明．

Answer 1

分析 （1）作DM⊥AB，DN⊥AC垂足分别为M、N．由DM=AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB推出BD=2DM，故∠DBM=30°即可解决问题．
（2）作BM∥AC，使得∠MCA=∠BAC，连接DM，先证△MCD≌△BAD得DM=DB，再由MC=MB得△DBM是等边三角形，在△ABC中利用内角和定理即可解决．

解答 解：（1）如图1，作DM⊥AB，DN⊥AC垂足分别为M、N．
∵DC=DA，DN⊥AC，
∴CN=AN=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AC，∠CAB=90°，∠CBA=45°，
∵∠DNA=∠NAM=∠DMA=90°，
∴四边形DNAM是矩形，
∴DM=AN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，
在RT△DBM中，∵∠DMB=90°，BD=AB，
∴BD=2DM，
∴∠DBM=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠DBM=15°，
∴∠CBD：∠DBA=15°：30°=1：2．
（2）相同，∠CBD：∠ABD=1：2，理由如下：
如图2中，作BM∥AC，使得∠MCA=∠BAC，连接DM．
∵∠ABC≠90°，AC≠AB，
∴∠MCA+∠CAB≠180°，
∴AB与CM不平行，
∴四边形ABMC是等腰梯形，
∴CM=AB，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠MCD=∠BAD，
在△MCD和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=AB}\\{∠NCD=∠BAD}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△MCD≌△BAD，
∴DM=DB，
∵∠BAC=2∠ACB=∠MCA，
∴∠MCB=∠BCA=∠MBC，
∴MB=MC，
∴BM=DM=DB，
∴△DBM是等边三角形，
∴∠MBD=60°，
∴∠ACB=∠MBC=60°-∠DBC，
∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠BDB，
∵∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴60°-∠DBC+120°-2∠DBC+∠DBC+∠ABD=180°，
∴∠ABD=2∠DBC，
即∠CBD：∠ABD=1：2．

点评 本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、等边三角形的判定和性质等知识，通过添加辅助线构造特殊三角形是解题的关键．