Question

11．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为直角边向外侧作等腰直角△ACD、△BCE，则称这两个等腰直角三角形为外展双叶等腰直角三角形．

（1）发现：如图2，当∠ACB=90°时，求证：△ABC与△DCE的面积相等．
（2）引申：如果∠ACB≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）运用：①如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ABED、BCGF和ACIH为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AB=4，BC=3．当△ABC满足∠ACB=90°时，图中△ADH、△BEF、△CGI的面积和有最大值是18．
②如图4，在△ADH、△BEF、△CGI的面积和取最大值时，试写出S_△DEF、S_△GFE、S_{正方形AHIC}三者之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先证明∠DCE=90°，然后依据SAS证明△DCE≌△ACB，由全等三角形的性质可得到△ABC与△DCE的面积相等．
（2）过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥CE，垂足为F．先依据AAS证明△DCF≌△ACG，依据全等三角形的性质FD=AG，由等腰三角形的定义可知CE=CB，最后依据三角形的面积公式证明即可；
（3）①由（2）可知：S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI=3S_△ABC，故此当∠ACB=90°，时S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值；②由①可知当∠ACB=90°，然后根据题意画出图形，接下来，证明点E、B、C在同一条直线上，从而可将△DEF的面积用含AB的式子表示，同理可将△EFG的面积用含BC的式子表示，最后在△ABC中，依据勾股定理进行解答即可．

解答 解：（1）如图1所示：

∵△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴DC=AC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=90°．
∵∠ACB=∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°．
在△DEC和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=AC}\\{∠ACB=∠DCE}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△ACB．
∴△ABC与△DCE的面积相等．

（2）成立．
理由：如图2所示：过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥CE，垂足为F．

∵△ACD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴∠DCA=∠ECB=∠FCB=90°，DC=AC，CE=CB．
∵FE⊥BC，AG⊥CB，
∴FC∥AG．
∴∠FCA=∠GAC．
∵∠DCF+∠FCA=90°，∠FCA+∠ACG=90°，
∴∠DCF=∠ACG．
在△DCF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠CGA}\\{∠DCF=∠ACG}\\{DC=AC}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△ACG．
∴FD=AG．
又∵CE=CB．
∴$\frac{1}{2}$CE•DC=$\frac{1}{2}$CB•AG，即△ABC与△DCE的面积相等．

（3）①如图3所示：

∵由（2）可知：S_△ADH=S_△ABC、S_△BEF=S_△ABC、S_△CGI=S_△ABC，
∴S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI=3S_△ABC．
∴当∠ACB=90°，时S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值，最大值=3×$\frac{1}{2}$×3×4=18．
故答案为：∠ACB=90°；18．

②结论：S_△DEF+S_△EFG=$\frac{1}{2}$S_{正方形AHIC}．
理由：由①可知当∠ABC=90°时，S_△ADH+S_△BEF+S_△CGI有最大值．
当∠ACB=90°时，如图4所示：

∵四边形ABED为正方形，
∴∠ABE=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠ABC=90°+90°=180°．
∴点E、B、C在一条直线上．
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$ED•AD=$\frac{1}{2}$AB²．
同理：△EFG的面积=$\frac{1}{2}$FG•CG=$\frac{1}{2}$CB²．
∵AC²=AB²+BC²，
∴S_△DEF+S_△EFG=$\frac{1}{2}$AB²+$\frac{1}{2}$CB²=$\frac{1}{2}$AC²=$\frac{1}{2}$S_{正方形AHIC}．
∴S_△DEF+S_△EFG=$\frac{1}{2}$S_{正方形AHIC}．

点评 本题考查的是四边形的综合应用、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的面积公式、勾股定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．