Question

20．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB=$\frac{4}{5}$，BD=5，则OH的长度为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{5}{6}$
• C． 1
• D． $\frac{7}{6}$

Answer 1

分析 连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出DH=4，由勾股定理得出BH=$\sqrt{B{D}^{2}-D{H}^{2}}$=3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD=∠BHD=90°，
∵cos∠CDB=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{4}{5}$，BD=5，
∴DH=4，
∴BH=$\sqrt{B{D}^{2}-D{H}^{2}}$=3，
设OH=x，则OD=OB=x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x²+4²=（x+3）²，
解得：x=$\frac{7}{6}$，
∴OH=$\frac{7}{6}$；
故选：D．

点评 此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．