Question

5．在⊙O中，弦AC⊥BD于点E，AC=BD．
（1）如图1，求证：AB=CD；
（2）如图2，作OF⊥CD于点F，求证：AB=2OF；
（3）如图3，若AD=4，BC=8，连接OE，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）由AC=BD，得到$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，于是得到$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，即可得到结论；
（2）如图2，过O作OF⊥CD于F，连接CO并延长交⊙O于G，连接BG，DG，根据圆周角定理得到∠CBG=∠CDG=90°，∠CGB=∠CDB，根据余角的性质得到∠DCE=∠BCG，得到$\widehat{BG}=\widehat{AD}$，求得$\widehat{AB}=\widehat{DG}$，得到AB=DG，推出OF∥DG，根据三角形的中位线的性质得到OF=$\frac{1}{2}$DG，等量代换得到结论；
（3）如图3，过O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，根据垂径定理得到BN=DN，AM=CM，由$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠CAD=∠ACB，由圆周角定理得到∠CAD=∠DBC，等量代换得到∠ACB=∠DBC，得到△BCE是等腰直角三角形，同理△ADE是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵AC=BD，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AC}-\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$-$\widehat{AD}$，
即：$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AB=CD；

（2）如图2，过O作OF⊥CD于F，连接CO并延长交⊙O于G，连接BG，DG，
∴∠CBG=∠CDG=90°，∠CGB=∠CDB，
∵AC⊥BD，
∴∠CDE+∠DCE=∠BGC+∠BCG=90°，
∴∠DCE=∠BCG，
∴$\widehat{BG}=\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AB}=\widehat{DG}$，
∴AB=DG，
∵OF⊥CD，DG⊥CD，
∴OF∥DG，
∵OC=OG，
∴CF=DF，
∴OF=$\frac{1}{2}$DG，
∴OF=$\frac{1}{2}$AB；

（3）如图3，过O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，
∴BN=DN，AM=CM，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠ACB=∠DBC，
∵AC⊥BD，
∴△BCE是等腰直角三角形，
同理△ADE是等腰直角三角形，
∵AD=4，BC=8，
∴AE=DE=2$\sqrt{2}$，BE=CE=4$\sqrt{2}$，
∴BD=AC=6$\sqrt{2}$，
∴BN=DN=AM=CM=3$\sqrt{2}$，
∴NE=EM=$\sqrt{2}$，
∴OE=2．

点评 本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的中位线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．