Question

8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，AB⊥AC，∠BDC=75°，求∠ABD的度数．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥BC，垂足为E，在AD上取一点D′，使得BD′=BC，过点D′作D′F⊥BC，垂足为F，只要证明D与D′是同一个点即可解决问题．

解答 解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，在AD上取一点D′，使得BD′=BC，过点D′作D′F⊥BC，垂足为F，

∵AD′∥BC，AE⊥BC，D′F⊥BC，
∴∠AEF=∠D′FE=∠EAD′=90°，
∴四边形AEFD′是矩形，
∴AE=D′F
∵∠BAC=90°，AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，∴D′F=AE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$BD′，
∴∠D′BC=30°，
∵BD′=BC，
∴∠BD′C=∠BCD=75°，
∵∠BDC=75°，
∴D与D′是同一个点，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°．

点评 本题考查梯形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是利用同一法，证明D与D′是同一个点，题目有一定的难度，属于中考压轴题．