Question

设M是边长为2的正三角形ABC的边AB上的中点，P是边长BC上的任意一点，求PA+PM的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,等边三角形的性质

专题：数形结合

分析：作出A关于BC的对称点A'，将PA+PM的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，并利用等边三角形的性质和勾股定理解答．

解答：解：作A关于BC的对称点A'，连接MA'，作MF⊥AG．
∵A、A'关于BC对称，
∴PA=PA'，
∴PA+PM=PA'+PM=MA'，
此时MA'的值即为PA+PM的最小值．
∵AG⊥BC，
又∵△ABC为等边三角形，
∴BG=CG=

1

2

BC=

1

2

×2=1．
∴AG=

22-12

=

3

．
∵M为AB的中点，MF⊥AG，
∴MF为△ABG的中位线，
∴MF=

1

2

BG=

1

2

，FG=

1

2

AG=

1

2

×

3

=

3

2

，FA'=FG+GA'=

3

+

3

2

=

3 3

2

，
∴A'M=

( 3 3 2 )2+( 1 2 )2

=

7

．

点评：此题结合等边三角形的性质考查了轴对称最短路径问题，作出A的对称点利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．