Question

6．化简：$\frac{1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{（1+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{5}）}$+$\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{7}+3}{（\sqrt{5}+\sqrt{7}）（\sqrt{7}+3）}$+…+$\frac{\sqrt{2n-1}+2\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}{（\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}）（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}）}$．

Answer 1

分析 先把分子变形后利用分式的加法的逆运算得到原式=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+3}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}$，然后分母有理化后合并即可．

解答 解：原式=$\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{（1+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{5}）}$+$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{7}+3}{（\sqrt{5}+\sqrt{7}）（\sqrt{7}+3）}$+…+$\frac{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}{（\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}）（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}）}$
=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+3}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{7}$+…+$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$+$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+3}$-1）
=$\frac{\sqrt{2n+3}-1}{2}$．

点评 本题考查了二次根式的混合运算：二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用；二次根式的运算结果要化为最简二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．