Question

3．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，当EC+ED取最小值时，求△ECB的面积．

Answer 1

分析 作AF⊥AC于点A，截取AF=$\frac{1}{2}$BC，连接CF，则CF与AB的交点就是E，根据相似三角形的对应高线的比等于相似比即可求得△BCE中BC边上的高，利用三角形面积公式求解．

解答 解：作AF⊥AC于点A，截取AF=$\frac{1}{2}$BC，连接CF，则CF与AB的交点就是E，且AF∥BC．作HG⊥BC，交AF于点H．
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴$\frac{EG}{HE}=\frac{BC}{AF}=2$，
∴GE=$\frac{2}{3}$HG=$\frac{2}{3}AC$=$\frac{4}{3}$．
∴S_△ECB=$\frac{1}{2}$BC•EG=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，正确确定E的位置是关键．