Question

14．已知关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+4（m-$\frac{1}{2}$）=0．
（1）判断这个一元二次方程的根的情况；
（2）对任意实数m，这个一元二次方程都有一个相同的解，求这个解；
（3）若等腰三角形的一边长为2.5，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）先求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）对任意实数m，这个一元二次方程都有一个相同的解，得到△=0，求出m=$\frac{3}{2}$，得到方程的根；
（3）分两种情况讨论：若腰=2.5，则x=2.5是方程的一个根，可求得等腰三角形的三边为2.5，2.5，2，那么这个等腰三角形的周长即可求．若底为2.5，则△=0，得到m=$\frac{3}{2}$，可求得等腰三角形的三边为2，2，2.5．那么这个等腰三角形的周长及面积即可求．

解答 解：（1）∵△=（2m+1）²-4×4（m-$\frac{1}{2}$）=（2m-3）²≥0，
∴方程有两个的实数根；
（2）∵对任意实数m，这个一元二次方程都有一个相同的解，
∴△=0，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴方程为；x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2；
（3）若腰=2.5，则x=2.5是方程的一个根，
∴另一根为x₂=2，
∴等腰三角形的三边为2.5，2.5，2，
∴等腰三角形的周长=7，
若底为2.5，则△=0，得到m=$\frac{3}{2}$，
∴方程的根为：x=2，
∴等腰三角形的三边为2，2，2.5．
∴等腰三角形的周长=6.5．

点评 本题考查的是根的判别式，等腰三角形的性质，熟知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．