Question

12．在直角坐标系中，正方形ABCD各顶点的坐标分别是A（1，2），B（-1，2），C（-1，0），D（1，0），以坐标原点为位似中心，将正方形ABCD放大，使放大后的正方形A′B′C′D′的边长是正方形ABCD的边长的3倍．
（1）写出点A′，B′，C′，D′的坐标；
（2）直线AC与直线B′D′互相垂直吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可以在原点的同旁，也可以在两旁画出放大3倍后的图形；在原点的同旁时，A点的横、纵坐标都乘以3，在原点的两旁时，A点的横、纵坐标都乘以-3；
（2）分别求出直线AC和直线B′D′的解析式，判断是否垂直．

解答 解：（1）两个正方形在原点的同旁时，
A′（3，6），B′（-3，6），C′（-3，0），D′（3，0），
两个正方形在原点的两旁时，
A′（-3，-6），B′（3，-6），C′（3，0），D′（-3，0），
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（1，2），C（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
设直线B′D′的解析式为y=kx+b，
∵B′（-3，6），D′（3，0），
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线B′D′的解析式为y=-x+3，
1×（-1）=-1，
∴直线AC与直线B′D′互相垂直，
同理，当B′（3，-6），D′（-3，0）时，直线AC与直线B′D′互相垂直．

点评 本题主要考查了位似变换和坐标与图形的性质，正确掌握位似比与点的坐标的关系是解题关键．