Question

【题目】如图，曲线是抛物线的一部分，与轴交于两点，与轴交于点，且表达式，曲线与曲线关于直线对称．

（1）求三点的坐标和曲线的表达式；

（2）过点作轴交曲线于点，连结，在曲线．上有一点，使得四边形为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）A(－1， 0)、B(3， 0)、C(0， )；（x≥3）；（2）．

【解析】

（1）当时，解得x=-1或3；当x=0时，，从而求出点A、B、C的坐标，利用对称性求出点A和点B关于直线x=3的对称点，利用待定系数法即可求出的表达式；

（2）利用对称性求出点D的坐标，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出AC＝DC＝2，从而得出点C在AD的垂直平分线上，过点A、M分别作x轴的垂线，与直线CD分别交于点G、H，那么∠ADG＝∠CMH，根据锐角三角函数求出∠ADC，设M，列出方程即可求出结论．

解：（1）由，

当时，解得x=-1或3；当x=0时，；

∴A(－1， 0)、B(3， 0)、C(0， )．

∵A(－1， 0)、B(3， 0) 关于直线x＝3的对称点为A′(7， 0)、B(3， 0)，

∴抛物线y2的表达式为：（x≥3）．

（2）由CD//x轴，可知C、D关于抛物线y1的对称轴x＝1对称，

所以D(2，)．

由A(－1， 0)、C(0，)、D(2，)，

∴AC=，CD=2

∴AC＝DC＝2．

∴点C在AD的垂直平分线上．

如果四边形ACDM的对角线互相垂直平分，那么四边形ACDM是菱形，此时点M在x轴上，不在抛物线y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情况．

如上图，过点A、M分别作x轴的垂线，与直线CD分别交于点G、H，那么∠ADG＝∠CMH．

由于tan∠ADG＝＝，所以∠ADC＝30°．因此．

设M，那么．

整理，得x2－13x＋24＝0．解得．

所以点M的横坐标为．