Question

11．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+1分别与x轴、y轴交于点M，N，一组线段A₁C₁，A₂C₂，A₃C₃，…A_nC_n的端点A₁，A₂，A₃，…A_n依次是直线MN上的点，这组线段分别垂直平分线段OB₁，B₁B₂，B₂，B₃，…，B_n-1B_n，若OB₁=B₁B₂=B₂B₃=…=B_n-1B_n=4，则点A_n到x轴的距离为（　　）

• A． 4n-4
• B． 4n-2
• C． 2n
• D． 2n-2

Answer 1

分析 由直线解析式可以找出M、N点坐标，即得出NO、MO的长度，再由已知得出OC₁，OC₂，OC₃，…，OC_n这组线段的长度，依据三角形相似的性质可得出结论．

解答 解：令x=0，则有y=1；
令y=0，则有$\frac{1}{2}$x+1=0，解得：x=-2．
故点M（-2，0），点N（0，1）．
∵一组线段A₁C₁，A₂C₂，A₃C₃，…A_nC_n分别垂直平分线段OB₁，B₁B₂，B₂，B₃，…，B_n-1B_n，且OB₁=B₁B₂=B₂B₃=…=B_n-1B_n=4，
∴OC₁=2，OC₂=4+2，OC₃=4×2+2，…，OC_n=4×（n-1）+2，
∴MC₁=4，MC₂=4+4，MC₃=4×2+4，…，MC_n=4×（n-1）+4=4n．
∵A_nC_n∥y轴，
∴△MNO∽△MA_nC_n，
∴$\frac{{A}_{n}{C}_{n}}{NO}$=$\frac{M{C}_{n}}{MO}$．
∵NO=1，MO=2，
∴A_nC_n=MC_n•$\frac{NO}{MO}$=2n．
故选C．

点评 本题考查了坐标系上点的特征依据相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出OC₁，OC₂，OC₃，…，OC_n这组线段的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题的技巧是选找到线段长度的规律．