Question

8．在大同市开张的美化城市活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠前，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC长为x（m），花园的面积为y（m²）．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m²吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；
（2）将y=200代入函数解析式，看x的是否在x的取值范围内，本题得以解决；
（3）将函数解析式化为顶点式，即可得到函数的变化趋势，再结合本题的题意可以得到当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少．

解答 解：（1）由题意可得，
y=x•$\frac{40-x}{2}$=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+20x（0＜x≤15），
即y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+20x（0＜x≤15）；
（2）不能，
理由：将y=200代入y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+20x，
得200=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+20x，
解得，x₁=x₂=20＞15，
∴花园面积不能达到200m²；
（3）∵y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+20x=$-\frac{1}{2}（x-20）^{2}+200$，
∴函数图象的顶点为（20，200），开口向下，当x＜20时，y随x的增大而增大，当x＞20时，y随x的增大而减小，
由题意可知，0＜x≤15，
∴当x=15时，y最大，此时y=187.5，
即当x取15米时，花园的面积最大，最大面积是187.5m²．

点评 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．