Question

已知关于x的一元二次方程（a-6）x²-8x+9=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大正整数值时，求2x²-

32x-7

x2-8x+11

的值．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的定义

专题：

分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=64-4×（a-6）×9≥0且a-6≠0；
（2）①把a的值代入方程得到x²-8x+9=0，然后利用求根公式法求解；
②由于x²-8x+9=0则x²-8x=-9，然后把x²-8x=-9整体代入所求的代数式中得到原式=2x²-

32x-7

-9+11

=2x²-16x+

7

2

，再变形得到2（x²-8x）+

7

2

，再利用整体思想计算即可．

解答： 解：（1）∵关于x的一元二次方程（a-6）x²-8x+9=0有实数根，
∴（-8）²-4（a-6）×9≥0且a-6≠0，
解得：a≤

70

9

且a≠6．

（2）由（1）可知，a的最大整数值为7，原方程变为x²-8x+9=0，
∴x²-8x=9，
∴原式=2x²-

32x-7

-9+11

=2x²-16x+

7

2

=2（x²-8x）+

7

2

=2×（-9）+

7

2

=-

29

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想．