Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，⊙O的切线BP与AC的延长线交于点P，连接DE，BE．
（1）求证：$\widehat{BD}=\widehat{DE}$；
（2）求证：∠AED=∠BCP；
（3）已知：sin∠BAD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AB=10，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）先由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，利用等腰三角形三线合一的性质得出结论；
（2）由四点共圆的性质得：∠DEC=∠ABC，再根据等边对等角证明∠DEC=∠ACB，最后由等角的补角相等可得结论；
（3）先根据已知的三角函数得：BD=2$\sqrt{5}$，三线合一可知：BC=4$\sqrt{5}$，利用勾股定理计算AD=4$\sqrt{5}$，证明△AED∽△BCP，可得：BP=2CP，设CP=x，则BP=2x，在Rt△ABP中，根据勾股定理列方程可得结论．

解答 证明：（1）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DE}$；

（2）∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∴∠AED=∠BCP；

（3）∵sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BD}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$，
∴DE=BD=DC=2$\sqrt{5}$，
∴BC=4$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠DAE=∠BAD=∠PBC，
由（2）得：∠AED=∠BCP；
∴△AED∽△BCP，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{ED}{PC}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{BP}=\frac{2\sqrt{5}}{PC}$，
∴BP=2CP，
设CP=x，则BP=2x，
在Rt△ABP中，AB²+BP²=AP²，
10²+（2x）²=（10+x）²，
解得：x₁=0（舍），x₂=$\frac{20}{3}$，
∴BP=2x=$\frac{40}{3}$；
则BP的长是$\frac{40}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、四点共圆的性质、解直角三角形、勾股定理、三角形相似的性质和判定以及圆中圆周角、弧的关系，难度适中，熟练掌握圆中圆周角、弧的关系是关键，并与等腰三角形的性质相结合，利用方程的思想求线段的长．