Question

8．如图，BC为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，CA与弦BE的延长线交于点A，D为AC的中点．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若DE=3，tanB=$\frac{1}{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，CE，根据切线的性质得到OE⊥DE，由BC为⊙O的直径，得到∠BEC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，由余角的性质得到∠ACB=90°，即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）证明：连接OE，CE，
∵DE为⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DE，
∴∠1=∠2，
∵OE=OB，
∴∠3=∠4，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵DE=3，
∴AC=6，
∴BC=$\frac{AC}{tanB}$=6$÷\frac{1}{3}$=18．

点评 本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．