题目内容
16．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=-4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
分析 （1）根据p=-4，q=3，得出方程x2-4x+3=0，再求解即可；
（2）根据a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，得出a，b是x2-15x-5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的值；
（3）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
解答 解：（1）当p=-4，q=3，则方程为x2-4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1．
（2）∵a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，
∴a、b是x2-15x-5=0的解，
当a≠b时，a+b=15，a-b=-5，
$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=$\frac{1{5}^{2}-2×（-5）}{-5}$=-47；
当a=b时，原式=2．
（3）设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1，x2，
则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{m}{n}$，$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{n}$，
则方程x2+$\frac{m}{n}$x+$\frac{1}{n}$=0的两个根分别是已知方程两根的倒数．
点评 本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
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如图，某人要测一建筑物AB的高度，他在地面D处测得建筑物顶端A的仰角为26°30'，沿DB方向前进90米到达点C处，测得建筑物的顶端A的仰角为63°30'，求建筑物的高．
如图，BC为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，CA与弦BE的延长线交于点A，D为AC的中点．