Question

20．已知菱形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，A（1，1），B（6，1），AC=4$\sqrt{5}$，点P是对角线OAC上的一个动点，E（0，2），当△EPD周长最小时，点P的坐标为（　　）

• A． （2，2）
• B． （2，$\frac{11}{2}$）
• C． （$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）
• D． （$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{8}$）

Answer 1

分析 点D关于AC的对称点是点B，连接EB，交AC于点P，再得出EB即为EP+DP最短，解答即可．

解答 解：连接ED，如图，
∵点D关于AC的对称点是点B，
∴DP=BP，
∴EB即为EP+DP最短，
即此时△EPD周长最小，
连接BD交AC于O，
过O作OF⊥AB于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，AC⊥BD，
∴BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OF=$\frac{AO•OB}{AB}$=2，
∴AF=$\sqrt{A{O}^{2}-O{F}^{2}}$=4，
∵A（1，1），B（6，1），
∴AB∥x轴，
∴直线AB与x轴间的距离是1，
∴O点的纵坐标为2+1=3，
∴O（5，3），
∴直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∵E（0，2），B（6，1），
∴直线BE的解析式为：y=-$\frac{1}{6}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{6}x+2}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}}\\{y=\frac{13}{8}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{8}$）．
故选D．

点评 此题考查了轴对称-最短距离问题，菱形的性质，关键是根据一次函数与方程组的关系，得出两直线的解析式，求出其交点坐标．