Question

3．已知直角坐标系中边长为1的正方形OABC，A、B，两点在第一象限．OA与x轴的角为30°，那么点B的坐标是（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）．

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，AF⊥BE于F，如图，只要证明△AFB≌△ADO，求出OE、BE即可解决问题．

解答 解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，AF⊥BE于F，如图，
四边形OABC为正方形，∴AB=AO，
∵AF⊥FB，
∴∠AFB=90°，
∵AD⊥OD，
∴∠ADO=90°，
∵∠BAO=∠FAD=90°，
∴∠BAF=∠OAD，
在△AFB和△ADO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠OAD}\\{∠AFB=∠ADO}\\{AB=AO}\end{array}\right.$
∴△AFB≌△ADO．
∴BF=OD，AF=AD，
∴点B的横坐标为DO-DE=DO-AF=DO-AD=1•cos30°-1•sin30°=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
点B的纵坐标为EF+FB=AD+DO=1•sin30°+1•cos30°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故答案为（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质．直角三角形39度角寻找等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．