Question

18．如图，已知BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D．
（1）若∠A=40°，则∠D=20°；
（2）若∠A=90°，则∠D=45°；
（3）若∠A=120°，则∠D=60°．
综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的正确性．

Answer 1

分析 先根据角平分线定义得到∠ACE=2∠1，∠ABC=2∠2，再根据三角形外角性质得∠ACE=∠ABC+∠A，则2∠1=2∠2+∠A，接着再根据三角形外角性质得∠1=∠2+∠D，易得∠A=2∠D，即∠D=$\frac{1}{2}$∠A，然后利用此结论分别解决（1）、（2）、（3）．

解答 解：如图，∵BD是△ABC的角平分线，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，
∴∠ACE=2∠1，∠ABC=2∠2，
∵∠ACE=∠ABC+∠A，
∴2∠1=2∠2+∠A，
而∠1=∠2+∠D，
∴2∠1=2∠2+2∠D，
∴∠A=2∠D，
即∠D=$\frac{1}{2}$∠A，
（1）当若∠A=40°，则∠D=20°；
（2）若∠A=90°，则∠D=45°；
（3）若∠A=120°，则∠D=60°．
故答案为20°，45°，60°．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．也考查了三角形外角性质．