Question

7．如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{25}{6}$
• D． $\frac{25}{8}$

Answer 1

分析 首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．

解答 解：如图1，连接OD、BD，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=5，CE=4，
∴DE=$\sqrt{{5}^{2}{-4}^{2}}=3$，
∵S_△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，
∴5BD=3BC，
∴$BD=\frac{3}{5}BC$，
∵BD²+CD²=BC²，
∴${（\frac{3}{5}BC）}^{2}{+5}^{2}{=BC}^{2}$，
解得BC=$\frac{25}{4}$，
∵AB=BC，
∴AB=$\frac{25}{4}$，
∴⊙O的半径是；
$\frac{25}{4}÷2=\frac{25}{8}$．
故选：D．

点评 此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．