Question

11．阅读材料，解决问题
平面内的两条直线相交和平行两种位置关系，如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，所以∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．
（1）将点P移到AB、CD内部，其余条件不变，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，能否借助（1）中的图形与结论，找出图③中∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作PQ∥AB，根据平行线性质得AB∥PQ∥CD，则∠1=∠B，∠2=∠D，得出∠BPD=∠B+∠D；
（3）连结QP并延长到E，根据三角形外角性质得∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，然后把两式相加即可得到∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．

解答 解：（1）结论不成立，∠BPD=∠B+∠D．
作PQ∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D；
（2）∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．理由如下：
连结QP并延长到E，如图3，
∵∠1=∠B+∠BQP，∠2=∠D+∠DQP，
∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP，
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．

点评 此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．