Question

14．如图，已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，连接AF、CE．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）求菱形AFCE的周长．

Answer 1

分析 （1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根据平行线得出∠EAO=∠FCO，根据ASA推出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；
（3）设AF=xcm，则CF=AF=xcm，BF=（8-x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程4²+（8-x）²=x²，求出x的值，进而得到菱形AFCE的周长．

解答 （1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）证明：∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；

（3）解：设AF=xcm，则CF=AF=xcm，BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
4²+（8-x）²=x²，
解得x=5．
所以菱形AFCE的周长为5×4=20cm．

点评 本题考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．