Question

3．如图，已知A是双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上一点，过点A作AB∥x轴，交双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）于点B，若OA⊥OB，则$\frac{OA}{OB}$的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 首先根据A、B点所在位置设出A、B两点的坐标，再利用勾股定理表示出AO²，BO²以及AB的长，再表示出$\frac{A{O}^{2}}{B{O}^{2}}$，进而可得到$\frac{AO}{BO}$．

解答 解：∵A点在双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上一点，
∴设A（$\frac{2}{m}$，m），
∵AB∥x轴，B在双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）上，
∴设B（-$\frac{3}{m}$，m），
∴OA²=$\frac{4}{{m}^{2}}$+m²，BO²=$\frac{9}{{m}^{2}}$+m²，
∵OA⊥OB，
∴OA²+BO²=AB²，
∴$\frac{4}{{m}^{2}}$+m²+$\frac{9}{{m}^{2}}$+m²=（$\frac{2}{m}$+$\frac{3}{m}$）²，
∴m²=$\frac{6}{{m}^{2}}$，
∴$\frac{A{O}^{2}}{B{O}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{{m}^{2}}+{m}^{2}}{\frac{9}{{m}^{2}}+{m}^{2}}$=$\frac{\frac{10}{{m}^{2}}}{\frac{15}{{m}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{BO}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故选C．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及勾股定理的应用，关键是表示出A、B两点的坐标．