Question

18．如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中①∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD；②EF=CF；③S_△BEC=2S_△CEF；④∠DFE=3∠AEF．一定成立的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③④
• C． ①②③
• D． ①②④

Answer 1

分析 如图延长EF交CD的延长线于H．作EN∥BC交CD于N，FK∥AB交BC于K．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．

解答 解：如图延长EF交CD的延长线于H．作EN∥BC交CD于N，FK∥AB交BC于K．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CH，
∴∠A=∠FDH，
在△AFE和△DFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDH}&{\;}\\{∠AFE=∠HFD}&{\;}\\{AF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DFH（AAS），
∴EF=FH，
∵CE⊥AB，AB∥CH，
∴CE⊥CD，
∴∠ECH=90°，
∴CF=EF=FH，故②正确，
∵DF=CD=AF，
∴∠DFC=∠DCF=∠FCB=$\frac{1}{2}$∠BCD；故①正确，
易证四边形DFKC是菱形，∴∠DFC=∠KFC，
∵AE∥EK，
∴∠AEF=∠EFK，
∵FE=FC，FK⊥EC，
∴∠EFK=∠KFC，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，
∵四边形EBCN是平行四边形，
∴S_△BEC=S_△ENC，
∵S_△EHC=2S_△EFC，S_△EHC＞S_△ENC，
∴S_△BEC＜2S_△CEF，故③错误，
故正确的有①②④．
故选：D．

点评 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．