Question

13．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连结BF．
（1）求证：①△EAF≌△EDC；
②D是BC的中点；
（2）若AB=AC，求证：四边形AFBD是矩形．

Answer 1

分析 （1）①根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明三角形全等即可；
②由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．

解答 （1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△EDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DCE}&{\;}\\{∠AEF=∠DEC}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△EDC（AAS）；

②∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
即D是BC的中点；

（2）证明：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．