Question

8．如图，动点A在曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点M，N，当NE：DM=1：2时，图中的阴影部分的面积等于$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△NEG∽△MDF，于是得到$\frac{EG}{FM}$=$\frac{NE}{DM}$=$\frac{1}{2}$，设EG=t，则MF=2t，然后根据△ADE∽△FMD，据此即可得到关于t的方程，求得t²的值，进而求解．

解答 解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，

∴△NEG∽△DMF，
∴$\frac{EG}{MF}$=$\frac{NE}{DM}$=$\frac{1}{2}$，
设EG=t，则MF=2t，
∴A（t，$\frac{2}{t}$），
∵AC=AE，AD=AB，
∴AE=t，AD=$\frac{2}{t}$，DF=$\frac{2}{t}$，MF=2t，
∵△ADE∽△FMD，
∴AE：DF=AD：MF，即t：$\frac{2}{t}$=$\frac{2}{t}$：2t，即t²=$\sqrt{2}$，
图中阴影部分的面积S=$\frac{1}{2}$•t•t+$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{t}$•$\frac{2}{t}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及到从反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|，也考查了相似三角形的判定与性质．