Question

已知，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．
（1）若∠A=60°，求∠FDE的度数；
（2）若∠A=130°，求∠FDE的度数；
（3）你能猜想出∠FDE与∠A有什么数量关系吗？

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）连接IE，IF，根据切线的性质，可得出∠AEI和∠AFI等于90°，再由∠A=60°，从而得出∠EIF，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得∠FDE．
（2）思路同（1）；
（3）∠FDE=90°-

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∠A．连结IE、IF，如图，根据切线的性质得到∠AEI=∠AFI=90°，利用四边形内角和得到∠A+∠EIF=180°，再由圆周角定理得∠EIF=2∠FDE，所以∠A+2∠EDF=180°，然后变形即可得到结论．

解答：解：（1）连接IE，IF，
∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∵∠A=60°，
∴∠EIF=120°，
∴∠FDE=60°．
答：∠FDE的度数为60°；
（2）若∠A=130°，则∠FDE的度数=25°；
（3）∠FDE=90°-

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∠A．理由如下：
连结IE、IF，如图，
∵内切圆I与边CA，AB分别相交于点E，F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∴∠A+∠EIF=180°，
∵∠EIF=2∠FDE，
∴∠A+2∠EDF=180°，
∴∠FDE=90°-

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∠A．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．熟练运用切线的性质．