设抛物线y=mx2-3mx+2与x轴的交点为A(x1.0).B(x2.0).且x12+x22=17.其中x1＜ x2.点P(a.b)为抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式,(2)连接AC.过P点做直线PE∥AC交x轴于点E.交y轴于点F(O.t).当a取何值时t有最大值.最大值是多少?的条件中是否存在一点P.使以点A.C.P.E为顶点的四边形为平行四边形．若不存在试说明理由,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．设抛物线y=mx²-3mx+2（m≠0）与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=17，其中x_1＜ x₂，点P（a，b）为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，过P点做直线PE∥AC交x轴于点E，交y轴于点F（O，t），当a取何值时t有最大值，最大值是多少？
（3）判断在（2）的条件中是否存在一点P，使以点A、C、P、E为顶点的四边形为平行四边形．若不存在试说明理由；若存在，试求出点P的坐标．

分析（1）先根据抛物线y=mx²-3mx+2（m≠0）与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0）可知x₁，x₂为方程的两个根，再由根与系数的关系即可得出m的值．
（2）先求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，由直线PE∥AC，过点F（0，t）可知直线PE的解析式为y=2x+t，根据点P（a，b）为直线与抛物线的交点可得出关于a，t的二次函数解析式，求出t的最大值即可；
（3）①当点P位于x轴上方时，根据轴对称的性质可得出P点坐标；
②当点P位于x轴下方时，根据CE∥AP，作PM⊥x轴于点M，四边形ACEP是平行四边形可得出△COE≌△PMA，故PM=OC=2即P点的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式即可得出x的值，进而得出P点坐标．

解答解：（1）∵当抛物线y=mx²-3mx+2（m≠0）和x轴相交时，y=0，即mx²-3mx+2=0，?????
∴x₁，x₂为方程的两个根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-3m}{m}$=3，x₁x₂=$\frac{2}{m}$．
又∵x₁²+x₂²=17，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=17，
∴9-$\frac{4}{m}$=17，????????
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x₁=-1，x₂=4，????????????????????????
∴A（-1，0），B（4，0）
当x=0时，y=2，
∴C（0，2）
设直线AC的解析式为：y=kx+b
把A，B坐标代入解析式$\left\{\begin{array}{l}b=2\\-k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=2\end{array}\right.$，
∵直线PE∥AC，过点F（0，t）
∴直线PE的解析式为 y=2x+t
∵点P（a，b）为直线与抛物线的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2=b\\ 2a+t=b\end{array}\right.$，?
∴t=-$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{2}$a+2
=-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{8}$≤$\frac{17}{8}$．
∴当a+$\frac{1}{2}$=0，即a=-$\frac{1}{2}$时，t最大值为$\frac{17}{8}$．
????????????????????????????????????????
（3）解：存在这样的点P，
①如图1，当点P位于x轴上方时，
∵PC∥AE，
∴PC∥x轴，
∴点C与点P关于抛物线的对称轴对称．
∵抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，C（0，2），
∴P（3，2）；
②如图2，当点P位于x轴下方时，
CE∥AP，作PM⊥x轴于点M，
∵四边形ACEP是平行四边形，
∴AC∥PE，AC=PE，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠COE=∠PMA\\∠APM=∠ECO\\ PE=CE\end{array}\right.$，
∴△COE≌△PMA（AAS），
∴PM=OC=2
∴P点的纵坐标为-2，代入抛物线的解析式
y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∴$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，??????????????
解得x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，???????????????
∴P（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）．???
∴使以点A、C、P、E为顶点的四边形为平行四边形的P点有三个：（3，2），（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2），（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）．?