Question

11．如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（　　）

• A． （-4，-2-$\sqrt{3}$）
• B． （-4，-2+$\sqrt{3}$）
• C． （-2，-2+$\sqrt{3}$）
• D． （-2，-2-$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 首先根据直角三角形的性质和勾股定理可得BC，AB，利用直角三角形的面积可得AD，再利用射影定理易得BD，可得点A的坐标，根据旋转的性质易得A₁的坐标，再利用平移的性质可得结果．

解答 解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A₁BC₁，如图所示，
∵AC=2，∠ABC=30°，
∴BC=4
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}×2}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{{（2\sqrt{3}）}^{2}}{4}$=3，
∵点B坐标为（1，0），
∴A点的坐标为（4，$\sqrt{3}$），
∵BD=3，
∴BD₁=3，
∴D₁坐标为（-2，0）
∴A₁坐标为（-2，-$\sqrt{3}$），
∵再向下平移2个单位，
∴A′的坐标为（-2，-$\sqrt{3}$-2），
故选D．

点评 本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．