Question

15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a，3），点B的坐标（b，6），
（1）若AB与坐标轴平行，求AB的长；
（2）若a，b，c满足$\left\{\begin{array}{l}a+3b-4c=2\\ a-2b+c=-3\end{array}\right.$，AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，
①求四边形ACDB的面积
②连AB，OA，OB，若△OAB的面积大于6而小于10，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）AB与坐标轴平行，则AB的长为两点的纵坐标之差；
（2）①先解方程组得到b-a=2，则根据梯形的面积公式可计算出四边形ACDB的面积=9；
②分类讨论：当a＞0，S_△OAB=S_△OBD-S_△OAC-S_梯形ACDB=$\frac{3}{2}$a-3，则6＜$\frac{3}{2}$a-3＜10，解得6＜a＜$\frac{26}{3}$；当a＜0，b＞0，S_△OAB=S_梯形ACDB-S_△OBD-S_△OAC=3-$\frac{3}{2}$a，则6＜3-$\frac{3}{2}$a＜10，解得-$\frac{14}{3}$＜a＜-2，而b=2+a＞0，则a＞-2，故舍去；当a＜0，b＜0，S_△OAB=S_△OBD+S_梯形ACDB-S_△OAC=3-$\frac{3}{2}$a，则6＜3-$\frac{3}{2}$a＜10，解得-$\frac{14}{3}$＜a＜-2，于是得到a的取值范围为6＜a＜$\frac{26}{3}$或-$\frac{14}{3}$＜a＜-2．

解答 解：（1）∵AB与坐标轴平行，即AB平行于y轴，
∴AB=6-3=3；
（2）①由方程组$\left\{\begin{array}{l}a+3b-4c=2\\ a-2b+c=-3\end{array}\right.$得b-a=2，
∵AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，
∴C（a，0），D（b，0），如图，
∴四边形ACDB的面积=$\frac{1}{2}$•（3+6）•（b-a）=$\frac{1}{2}$•9•2=9；
②当a＞0，
∵S_△OAB=S_△OBD-S_△OAC-S_梯形ACDB，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•6•b-$\frac{1}{2}$•3•a-9=3b-$\frac{3}{2}$a-9，
而b=2+a，
∴S_△OAB=3（2+a）-$\frac{3}{2}$a-9=S_△OAB=$\frac{3}{2}$a-3，
∴6＜$\frac{3}{2}$a-3＜10，解得6＜a＜$\frac{26}{3}$；
当a＜0，b＞0，
S_△OAB=S_梯形ACDB-S_△OBD-S_△OAC=9-$\frac{1}{2}$•6•b+$\frac{1}{2}$•3•a=9-3b+$\frac{3}{2}$a=9-3（2+a）+$\frac{3}{2}$a=3-$\frac{3}{2}$a
∴6＜3-$\frac{3}{2}$a＜10，解得-$\frac{14}{3}$＜a＜-2，
而b=2+a＞0，则a＞-2，故舍去，
当a＜0，b＜0，
∵S_△OAB=S_△OBD+S_梯形ACDB-S_△OAC=-$\frac{1}{2}$•6•b+9+$\frac{1}{2}$•3•a=-3b+9+$\frac{3}{2}$a=-3（2+a）+9+$\frac{3}{2}$a=3-$\frac{3}{2}$a
∴6＜3-$\frac{3}{2}$a＜10，解得-$\frac{14}{3}$＜a＜-2，
综上所述，a的取值范围为6＜a＜$\frac{26}{3}$或-$\frac{14}{3}$＜a＜-2．

点评 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式．