Question

8．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE=DC．
（1）求证：△BDE≌△ADC；
（2）若BC=8.4，tanC=$\frac{5}{2}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，又∠ABC=45°易得∠ABC=∠BAD，可得AD=BD，由SAS定理可得△BDE≌△ADC；
（2）设DE=x，因为tanC=$\frac{5}{2}$可得AD=2.5x，可得BC=3.5x，由BC=8.4，可解得x，可得DE．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=∠BAD，
∴AD=BD，
在△BDE和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠EDB=∠ADC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC（SAS）；

（2）解：设DE=x，
∵DE=DC，
∴DC=x，
∵tanC=$\frac{5}{2}$，
∴AD=2.5x，
∵AD=BD，
∴BD=2.5x，
∴BC=BD+CD=3.5x，
∵BC=8.4，
∴x=2.4，
DE=2.4．

点评 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，利用方程思想是解答此题的关键．