Question

16．在矩形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE、AC，AC⊥BE于点F，连接DF，则下列结论正确的有②③④．
①CF=3AF ②△AEF与△CAB相似 ③DF=DC ④tan∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 ①由AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又AD∥BC，所以$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，故①错误；
②四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC可得出结论．

解答 解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=2AF，故①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故②正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有$\frac{b}{a}$=$\frac{\frac{a}{2}}{b}$．
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．