Question

如图1，已知⊙O的弦MN所对的弧是120°，圆心O到MN所在的直线的距离是4．
（1）求弦MN的长；
（2）如图2，若点M是

AB

的中点，弦AB与MN交于D，请直接写出：∠ADN=

 

度．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接OM、ON，过O作OD⊥MN于D，根据垂径定理求出MN=2MD，根据等腰三角形的性质求出∠MOD=60°，求出∠OMD，解直角三角形求出即可；
（2）连接BN，求出

AM

和

BM

的度数相等，设度数为x°，根据劣弧MN的度数是120°，求出优弧MN的度数为240°，根据三角形外角性质得出∠ADN=∠ABN+∠MNB，即可求出答案．

解答： 解：（1）如图：连接OM、ON，过O作OD⊥MN于D，

∵⊙O的弦MN所对的弧是120°，
∴∠MON=120°，
∵OM=ON，
∴∠MOD=∠NOD=60°，MN=2MD，
∴∠OMD=30°，
∵圆心O到MN所在的直线的距离是4，
∴OD=4，
∴OM=2OD=8，由勾股定理得：MD=

82-42

=4

3

，
∴MN=2MD=8

3

；

（2）如图：连接BN，

∵点M是

AB

的中点，
∴

AM

和

BM

的度数相等，设度数为x°，
∵劣弧MN的度数是120°，
∴优弧MN的度数为360°-120°=240°，
∵∠ADN=∠ABN+∠MNB=

1

2

（240°-x°）+

1

2

•x°=120°．
故答案为：120．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理的应用，综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．