Question

19．如图1，某桥主桥拱为抛物线型，当水面在AB时，测得水面宽为20m，拱顶离水面5m，以水平线AB为x轴，点A为原点建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求此桥拱线所在抛物线的解析式；
（2）水面上升2m，到达CD位置时，水面宽度减少多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意可知抛物线顶点坐标为（10，5），点B坐标为（20，0），待定系数法求解可得；
（2）求出当y=2时x的值，即可得CD的长，继而知减少的宽度．

解答 解：（1）根据题意可知抛物线顶点坐标为（10，5），点B坐标为（20，0），
设抛物线解析式为y=a（x-10）²+5，
将点B（20，0）代入，得：100a+5=0，
解得：a=-$\frac{1}{20}$，
∴此桥拱线所在抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{20}$（x-10）²+5；

（2）根据题意，当y=2时，-$\frac{1}{20}$（x-10）²+5=2，
解得：x₁=10+2$\sqrt{15}$，x₂=10-2$\sqrt{15}$，
此时水面宽CD=10+2$\sqrt{15}$-（10-2$\sqrt{15}$）=4$\sqrt{15}$，
∴水面上升2m，到达CD位置时，水面宽度减少（20-4$\sqrt{15}$）m．

点评 本题主要考查二次函数的应用，理解题意构建二次函数模型是解题的关键．