Question

17．如图1，在△ABC中，AB=AC=4 cm，∠BAC=90°，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，P点的速度是1 cm/s，Q点的速度是$\sqrt{2}$cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停上运动，设点P的运动时间为ts．
（1）如图2，当四边形APQC恰好内接于一个圆时，t的值为$\frac{4}{3}$s；
（2）如图1，设四边形APQC的面积为y cm²，求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？
（3）如图3，连接AQ，当t的值为多少时？以P、B、Q为顶点的三角形与以A、Q、C为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）如图2中，连接PQ．只要证明△PBQ∽△CBA，得$\frac{PB}{CB}$=$\frac{BQ}{BA}$，列出方程即可解决问题．
（2）作QH⊥AB于H．根据y=S_△ABC-S_△PBQ，构建二次函数，理由二次函数的性质即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①∠B=∠C，当$\frac{BP}{CA}$=$\frac{BQ}{CQ}$时，△PBQ∽△ACQ，②当$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CA}$时，△PBQ∽△QCA，分别列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图2中，连接PQ．

∵四边形APQC恰好内接于一个圆，
∴∠PQC+∠PAC=180°，∵∠PAC=90°，
∴∠PQC=90°，
∵∠B=∠B，∠BQP=∠A=90°，
∴△PBQ∽△CBA，
∴$\frac{PB}{CB}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∴$\frac{4-t}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}t}{4}$，
∴t=$\frac{4}{3}$s．
故答案为$\frac{4}{3}$

（2）如图1中，作QH⊥AB于H．

y=S_△ABC-S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×4×4=$\frac{1}{2}$•PB•QH=8-$\frac{1}{2}$（4-t）•t=$\frac{1}{2}$t²-2t+8=$\frac{1}{2}$（t-2）²+6．
∵$\frac{1}{2}$＞0，
∴t=2时，y有最小值．最小值为6．

（3）如图3中，

①∵∠B=∠C，
∴当$\frac{BP}{CA}$=$\frac{BQ}{CQ}$时，△PBQ∽△ACQ，
∴$\frac{4-t}{4}$=$\frac{\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}$，
∴t=6-2$\sqrt{5}$或6+2$\sqrt{5}$（舍弃）．
②当$\frac{BP}{CQ}$=$\frac{BQ}{CA}$时，△PBQ∽△QCA，
∴$\frac{4-t}{4\sqrt{2}-\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}t}{4}$，
∴t=2或4（舍弃），
综上所述，t=（6-2$\sqrt{5}$）s或2s时，△PBQ与△AQC相似．

点评 本题考查相似三角形综合题、圆的有关知识、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用 方程的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．