Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交AB于点E．
（1）试说明：E是BC的中点；
（2）过E点作⊙O的切线，交AB于点F，求证：EF⊥AB．

Answer 1

分析 （1）连结AE，依据圆周角定理可知AE⊥BC，然后依据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
（2）依据三角形中位线的性质可证明OF∥AB，然后由OE⊥DF可证明DF⊥AB．

解答 解：（1）如图1所示：连结AE．

∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°．
又∵AB=AC 
∴E是BC的中点．
（2）连结OE．

∵EF是⊙O的切线
∴OE⊥EF．
又∵O 是AC 的中点，E 是BC 的中点，
∴OE∥AB．
∴EF⊥AB．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理的应用、等腰三角形的性质，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．