题目内容
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，点A的坐标为（-1，0），OB=OC，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
（2）经过点C的直线l与抛物线的对称轴交于点N．
①连接AN，若AN⊥l，请求出直线l的函数表达式；
②若直线l的函数表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，与抛物线的另外一个交点为D，点P为直线l上一动点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q．当点Q在x轴上方，连接QC、QD，设△QCD的面积为S，则S取何值时，相应的点Q有且只有两个？
分析 （1）求出B点和C点坐标，利用交点式求出函数解析式；
（2）①故可设直线l的表达式为y=kx+3，根据GF为Rt△AEN中位线，F为EN中点，得到G（0，$\frac{k+3}{2}$），F（1，$\frac{k+3}{2}$），结合GF∥AE，证出△AOG∽△CNG；
②将直线l向上平移，记平移后的直线为l′，当直线l′与抛物线只有一个交点Q1时，点Q1与线段CD构成△Q1CD，线段CD下方的一个点Q2构成△Q2CD，此时满足条件的点Q有且只有两个．求出直线l′的表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{313}{64}$，结合四边形CP1Q1C′是平行四边形，得到P1Q1=CC′=$\frac{313}{64}$-3=$\frac{121}{64}$，由S=S△Q1CP1+S△Q1DP1可得当S=$\frac{1331}{512}$时，相应的点Q有且只有两个．
解答 解：（1）∵y=ax2-2ax+c=a（x-1）2+c-a2，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
∵抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于A、B，点A的坐标为（-1，0），
∴点B的坐标为（3，0），OB=3．
可得该抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3）．
∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴OC=3，点C的坐标为（0，3）．
将点C的坐标代入该表达式，解得a=-1．
∴此抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
即y=-（x-1）2+4，
∴顶点M的坐标为（1，4），
（2）过抛物线顶点M作ME⊥x轴，垂足为E，则ME的表达式为x=1，是抛物线对称轴．
①如图1，直线l与抛物线对称轴ME交于点N，连接AN交y轴于点G，过G作GF⊥ME于点F
∵直线l经过点C（0，3），故可设直线l的表达式为y=kx+3，
∴点N坐标为（1，k+3），
在Rt△AEN中，O为AE中点，OG∥EN，
∴OG为Rt△AEN中位线，G为AN中点，
又∵GF⊥ME，
∴GF∥AE，
∴GF为Rt△AEN中位线，F为EN中点，
∴G（0，$\frac{k+3}{2}$），F（1，$\frac{k+3}{2}$），
∴GF=1，NF=EF=OG=$\frac{k+3}{2}$，CG=3-$\frac{k+3}{2}$=$\frac{3-k}{2}$，
又∵AN⊥l，
∴△AOG∽△CNG，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{NG}{OG}$，即$\frac{\frac{3-k}{2}}{\sqrt{{1}^{2}+（\frac{k+3}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+（\frac{k+3}{2}）^{2}}}{\frac{k+3}{2}}$，
整理得：k2+3k+2=0，
∴k=-1或k=-2．
∴当AN⊥l时，直线l的函数表达式为y=-x+3或y=-2x+3，
②将直线l向上平移，记平移后的直线为l′，当直线l′与抛物线只有一个交点Q1时，点Q1与线段CD构成△Q1CD，线段CD下方的一个点Q2构成△Q2CD，此时满足条件的点Q有且只有两个．
设直线l′的表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，代入抛物线的表达式得：
-x2+2x+3=-$\frac{3}{4}$x+b，整理得：4x2-11x+4b-12=0，
当l′与抛物线只有一个交点时，△=（-11）2-4×4×（4b-12）=0，解得b=$\frac{313}{64}$，
∴直线l′的表达式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{313}{64}$，
易知四边形CP1Q1C′是平行四边形，
∴P1Q1=CC′=$\frac{313}{64}$-3=$\frac{121}{64}$，
由-x2+2x+3=-$\frac{3}{4}$x+3，得x=0（舍去）或x=$\frac{11}{4}$，
∴点D的横坐标为$\frac{11}{4}$，
∴S=S△Q1CP1+S△Q1DP1=$\frac{1}{2}$×$\frac{121}{64}$×$\frac{11}{4}$=$\frac{1331}{512}$，
故当S=$\frac{1331}{512}$时，相应的点Q有且只有两个．
点评 本题考查了二次函数综合题，（1）涉及待定系数法求二次函数解析式，要熟悉交点式；（2）①涉及待定系数法求一次函数解析式、三角形的中位线定理等知识；②是存在性问题，要结合图形找到存在的点．
如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（ ）
如图，正方形ABCD的边长为2，若a＜AC＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（ ）| A． | 2 | B． | 5 | C． | 6 | D． | 12 |
| A． | -$\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | -$\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |
