Question

5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠ABC=2∠C，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BD=3，BC=20，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质，得到DE=$\frac{1}{2}$AC=CE，利用等边对等角得到∠EDC=∠C，再证明∠F=∠BDF，利用等角对等边即可得到BD=BF．
（2）作EM∥BC交AB于M，易知ME=MF=$\frac{1}{2}$BC=10即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，
∴△ACD是直角三角形，
∵E是AC的中点，即DE为△ACD斜边中线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=CE，
∴∠EDC=∠C，
∵∠BDF=∠EDC=∠C，
∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=2∠BDF，
∵∠ABC=∠F+∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
∴BD=BF．
（2）解：作EM∥CB交AB于M，
∵AE=EC，EM∥CB，
∴AM=BM，ME=$\frac{1}{2}$BC=10，
∵BD=BF=3，
∴∠F=∠BDF=∠MEF，
∴MF=ME=10，
∴BM=FM-BF=10-3=7，
∴AB=2BM=14．

点评 本题考查直角三角形斜边中线定理、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，出现中点加平行线是常用的辅助线．