Question

10．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a（x-h）²-4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-3，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由对称轴确定h的值，代入点A坐标即可求解；
（2）设出点P坐标并表示△POC的面积根据题意列出方程求解即可；
（3）设出点Q，D坐标并表示线段QD的长度，建立二次函数，运用二次函数的最值求解即可．

解答 解：（1）由题意对称轴为直线x=-1，可设抛物线解析式：y=a（x+1）²-4，把点A（-3，0）代入可得，a=1，
∴y=（x+1）²-4=x²+2x-3，
（2）如图1，

y=x²+2x-3，当x=0时，y=-3，
所以点C（0，-3），OC=3，
令y=0，解得：x=-3，或x=1，
∴点B（1，0），OB=1，
设点P（m，m²+2m-3），
此时S_△POC=$\frac{1}{2}$×OC×|m|=$\frac{3}{2}$|m|，
S_△BOC=$\frac{1}{2}×OB×OC$=$\frac{3}{2}$，
由S_△POC=4S_△BOC得$\frac{3}{2}$|m|=6，
解得：m=4或m=-4，
m²+2m-3=21，或m²+2m-3=5，
所以点P的坐标为：（4，21），或（-4，5）；
（3）如图2，

设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-3，0），C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以直线AC：y=-x-3，
设点Q（n，-n-3），点D（n，n²+2n-3）
所以：DQ=-n-3-（n²+2n-3）=-n²-3n=-（n+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
所以当n=-$\frac{3}{2}$时，DQ有最大值$\frac{9}{4}$．

点评 此题主要考查二次函数综合问题，会求函数解析式，会根据面积相等建立方程并准确求解，知道运用二次函数可以解决线段最值问题，是解题的关键．