Question

13．若BE为等腰Rt△OAB的中线，OF⊥BE于F，交AB于G，连EG．
（1）证明：OG+EG=BE；
（2）求证：∠OEF=∠AEG．

Answer 1

分析 （1）过点A作AC⊥AO交OG的延长线于点C，首先求出∠ACO=∠OEF，利用ASA证明△OAC≌△BOE，于是得到BE=OC=OG+CG，OE=AC，进而利用SAS证明△EAG≌△CAG，于是得到CG=EG，即可得到结论；
（2）根据△EAG≌△CAG得到∠ACO=∠AEG，再利用角之间的等量关系得到结论．

解答 证明：（1）过点A作AC⊥AO交OG的延长线于点C，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AO=BO，∠AOB=∠OAC=90°，
∵∠ACO+∠AOC=∠OEF+∠AOC，
∴∠ACO=∠OEF，
在△OAC和△BOE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAO=∠EOB}\\{AO=BO}\\{∠AOC=∠OBE}\end{array}\right.$，
∴△OAC≌△BOE，
∴BE=OC=OG+CG，OE=AC，
∵OE=AE，
∴AE=AC，
∵∠OAC=90°，∠OAB=45°，
∴∠OAB=∠CAG=45°，
在△EAG和△CAG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAG=∠CAG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$
∴△EAG≌△CAG，
∴CG=EG，
∴OG+EG=BE；
（2）∵△EAG≌△CAG，
∴∠ACO=∠AEG，
∵∠ACO=∠OEF，
∴∠OEF=∠AEG．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的知识，解答本题的关键是利用ASA证明△OAC≌△BOE，利用SAS证明△EAG≌△CAG，此题有一定的难度．