Question

7．玩具加工厂预计生产甲、乙两种玩具产品共50件，已知生产一件甲种玩具需要A种原料3个，B种原料6个，可获利80元；生产一件乙种玩具需要A种原料5个，B种原料5个，可获利100元，已知玩具加工厂现有A种原料220个，B种原料267个，假设生产甲种玩具x个，共获利y元．
（1）请问有几种方案符合生产玩具的要求；
（2）请你写出y与x之间的函数关系，并用函数的知识来设计一个方案使得获利最大，最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）根据“生产甲玩具时A原料总数量+生产乙玩具时A原料总数量≤220、生产甲玩具时B原料总数量+生产甲玩具时B原料总数量≤267”列出不等式组，解不等式组可得方案；
（2）根据“总利润=生产甲玩具的总利润+生产乙玩具的总利润”，列出函数关系式，结合（1）中x的范围和函数性质可知获利最大的方案．

解答 解：（1）根据题意知，生产甲种玩具x个，则乙玩具有（50-x）个，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+5（50-x）≤220}\\{6x+5（50-x）≤267}\end{array}\right.$，
解得：15≤x≤17，
∵x为整数，
∴x可取15，16，17，
则有如下3中方案符合要求：
①甲玩具15件，乙玩具35件；
②甲玩具16件，乙玩具34件；
③甲玩具17件，乙玩具33件．
（2）根据题意，y=80x+100（50-x）=-20x+5000，
∵-20＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵15≤x≤17，
∴当x=15时，获利最大，最大利润y=-20×15+5000=4700元，
即生产甲玩具15件，乙玩具35件时获利最大，最大利润为4700元．

点评 本题主要考查不等式组的应用和一次函数的应用能力，根据题意找到不等关系和相等关系是解题的关键．