Question

3．已知：二次函数y=-x²+2（α+1）x+1，其中a为常数．
（1）若y的最大值为2，求a的值；
（2）求y=-x²+2（a+1）x+1在0≤x≤|a|时的最小值；
（3）若方程|-x²+2（a+1）x+1|=2-x的正实数根只有一个，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把y=-x²+2（α+1）x+1配方即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3根据题意得到即该方程的一次项的系数为0，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．解方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+2（α+1）x+1=-[x-（a+1）]²+a²+2a+2，
∵y的最大值为2，
∴a²+2a+2=2
解得：a=0或a=-2
即y的最大值为2时，a的值为0或-2；

（2）∵二次函数y=-x²+2（α+1）x+1=-[x-（a+1）]²+（a+1）²+1的图象开口向下，对称轴x=a+1
∴当0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而增大，
故：函数y=-x²+2（a+1）x+1的最小值为：y_min═-[0-（a+1）]²+（a+1）²+1=1；

（3）∵方程|-x²+2（a+1）x+1|=2-x的正实数根只有一个，即该方程的一次项的系数为0，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．
∴当方程-x²+2（a+1）x+1=2-x时，
有：x²-（2a+3）x+1=0，而此时二次项的系数与常数项的符号相同，不符合题意，舍去．
∴当方程为：-x²+2（a+1）x+1=x-2时，化简整理得：x²-（2a+1）x-3=0，
∵△=[-（2a+1）]²-4×（-3）=4a²+4a+13=（2a+1）²+12≥0，
∴a的取值范围为任意实数．

点评 本题考查了二次函数的最值，二次方程的判别式，正确的理解题意是解题的关键．