Question

8．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
（1）若AB=6，DF=2，求BE的长；
（2）求证：CG=DG+BG．

Answer 1

分析 （1）由菱形的四边相等得：AD=AB=6，计算出AE的长，再求BE的长即可；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△AED≌△DFB和△CDG≌△CBM，再△CGM是等边三角形，可以得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，
∵DF=2，AE=DF，
∴AE=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4；
（2）延长FB到点M，使BM=DG，连接CM．
∵AB=BD，AB=AD
∴△ABD为等边三角形
∴∠A=∠BDF=60°．
∵CD∥AB
∴∠ADC=180°-∠A=120°
同理得：∠ABC=120°
在△AED和△DFB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠A=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（SAS）；
∴∠ADE=∠DBF，∠AED=∠DFB
∵AD∥BC，DC∥AB
∴∠DFB=∠CBM，∠AED=∠CDG
∴∠AED=∠CBM=∠CDG
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等边三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等边三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，以及菱形的性质；本题充分利用了等边三角形的三条边相等和三个内角都是60°的性质．