Question

19．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点E，与边AC交于点F，过点E作ED⊥AC于D．
（1）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若EF=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，$cosC=\frac{3}{5}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OE，根据等边对等角得出∠C=∠OEB，由平行线的判定得出OE∥AC，则∠OED=∠EDC，从而得出∠OED=∠EDC=90°，即ED⊥OE，即可得出结论：直线ED与⊙O相切；　　　　　
（2）根据圆内接四边形的对角互补，得∠B+∠AFE=180°，可证明∠B=∠CFE，即可得出∠CFE=∠C，在Rt△EDF中，根据三角函数的定义得cos∠DFE=$\frac{DF}{EF}$，则DF=EF•cos∠DFE，从而得出CF的长．

解答 解：（1）直线ED与⊙O相切，
理由：连结OE．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB．
∴∠C=∠OEB．　　　　　　　　　         　      
∴OE∥AC．
∴∠OED=∠EDC．　　　　　　　　　                       
∵ED⊥AC，
∴∠OED=∠EDC=90°．
即ED⊥OE，
又∵OE是⊙O的半径
∴直线ED与⊙O相切．　　　　　　　　                       
（2）在⊙O中，∠B+∠AFE=180°
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠B=∠CFE．
∵∠B=∠C，
∴∠CFE=∠C．　　　　　   　                              
在Rt△EDF中，∠EDF=90°，
cos∠DFE=$\frac{DF}{EF}$．
∴DF=EF•cos∠DFE=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$．∴CF=2DF=2×$\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，以及圆周角定理、三角函数的定义，是一道综合性的题目，难度不大，要熟练掌握．