Question

7．如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°
（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．

Answer 1

分析 （1）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN的长度为半径画弧，两弧交于一点；③作射线BE交AC与E，交⊙O于点D，则线段BD为△ABC的角平分线；
（2）连接OD，设⊙O的半径为r，证得△ABE∽△DCE，在R_t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，得到AB=$\frac{1}{2}$AC=r，推出△ADC是等腰直角三角形，在R_t△ODC中，求得DC=$\sqrt{{OD}^{2}{+OC}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，于是问题可得．

解答 （1）如图所示；

（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r，
∵∠BAE=∠CDE，
∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
在R_t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=r，
∵∠ABD=∠ACD=45°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠DOC=90°，
在R_t△ODC中，DC=$\sqrt{{OD}^{2}{+OC}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△CDE}}$=${（\frac{AB}{DC}）}^{2}$=${（\frac{r}{\sqrt{2}r}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是解答本题的关键．