Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．

解答 解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，

在△AQP和△AQP′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP′}\\{∠QAP=∠QAP′}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△AQP≌△AQP′，
∴PQ=QP′
∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，
∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=8，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴PQ+BQ的最小值是4，
故选A．

点评 本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．