Question

【题目】已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0

(1) 当k取何值方程有两个实数根

(2) 是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为

Answer 1

【答案】(1)k≥; (2)2.

【解析】

（1）根据判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围；

（2）设方程的两根为x1，x2，依题意x12＋x22＝5，又根据根与系数的关系可以得到x1＋x2＝k＋1，x1x2＝k2＋1，而x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，这样利用这些等式变形即可求解．

解：(1) ∵△＝[－(k＋1)]2－4×(k2＋1)＝2k－3≥0，

∴k≥；

(2) 设方程的两根为x1、x2，

∴x12＋x22＝5，

∵x1＋x2＝k＋1，x1x2＝k2＋1，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(k＋1)2－2×(k2＋1)＝5，解得k1＝－6，k2＝2，

∵x1＋x2＝k＋1＞0，

∴k＞－1，

∴k＝2.